Logika Matematika

LOGIKA MATEMATIKA

 Pernyataan adalah kalimat yang hanya benar atau salah saja, tetapi tidak sekaligus kedua- duanya.

 Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat di tentukan nilai kebenarannya karena masih mengandung variabel atau peubah

 Konjungsi adalah Gabungan dua pernyataan tunggal yang menggunakan kata penghubung “dan” sehingga terbentuk pernyataan majemuk

 Disjungsi adalah gabungan dua pernyataan yang menggunakan kata penghubung logika “atau” sehingga membentuk dua pernyataan majemuk.

 Implikasi, Gabungan dua pernyataan p dan q sehingga membentuk pernyataan majemuk dengan menggunakan kata penghubung “Jika..., maka...”

 Biimplikasi atau bikondisional ialah suatu pernyataan majemuk yang berbentuk ”p jika dan hanya jika q” yang berarti “jika p maka q dan jika q maka p”.

 Negasi dari suatu pernyataan majemuk dapat dibentuk dari negasi pernyataan-pernyataan tunggal dengan menggunakan ekuivalensi, yaitu apabila negasi pernyataan-pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan pernyataan majemuk negasi dari komponen-komponennya.

 Tautologi adalah Suatu pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya adalah selalu benar

 Kontradiksi adalah Suatu pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya selalu salah

 Kontingensi adalah suatu pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya memuat benar dan salah.

A. Pernyataan

Kalimat ada 2 macam :

1. Kalimat terbuka

adalah kalimat yang tidak dapat ditentukan nilai benar atau salahnya.

Contoh : 2x + 5 = -4

2.      Kalimat tertutup ( pernyataan )

 adalah kalimat yang dapat ditentukan nilai benar atau salahnya.

Contoh : 5 + 6 = 11

B. Pernyataan Majemuk

1. Konjungsi (Λ)

Konjungsi adalah Gabungan dua pernyataan tunggal yang menggunakan kata penghubung “dan” sehingga terbentuk pernyataan majemuk. p Λ q (dibaca p dan q )

p	q	p Λ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

2.      Disjungsi  (V)

 Disjungsi adalah gabungan dua pernyataan yang menggunakan kata penghubung logika “atau” sehingga membentuk dua pernyataan majemuk. p V  q (dibaca p atau q )

P	q	p V q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

3.      Implikasi (=>)

Implikasi, Gabungan dua pernyataan p dan q sehingga membentuk pernyataan majemuk dengan menggunakan kata penghubung “Jika..., maka...”. p =>  q (dibaca jika p maka q )

P	q	p => q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Implikasi mempunyai :

1.      Konvers

2.      Invers

3.     

Kontraposisi

p=>q                  konvers                                     q=>p

Kontraposisi

konvers

⌐p=>⌐q

⌐q=>⌐p

 

4.      Biimplikasi (ó)

Biimplikasi atau bikondisional ialah suatu pernyataan majemuk yang berbentuk ”p jika dan hanya jika q” yang berarti “jika p maka q dan jika q maka p”..

P	q	pó q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

C. TAUTOLOGI , KONTRADIKSI , DUA PERNYATAAN YANG EKUIVALEN

1. Tautologi

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya.

Contoh : (pΛq) => q

2.      Kontradiksi

Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substansi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya.

3.      Ekuivalen

Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama.

 Notasi

“  dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponen-komponennya”

Contoh :

~(pVq) ≡ ~p Λ ~q

~(p Λ q) ≡ ~p V ~q

~(p=>q) ≡ p Λ ~q

D. IMPLIKASI, KONVERSI , INVERSI , KONTRAPOSISI

Implikasi               : p => q

Konversi                : q => p

Inversi                   : ~p => ~q

Kontraposisi          : ~q => ~p

Contoh :

Implikasi   : Jika saya ke Bandung , maka saya membeli sepatu.

Konversi    : Jika saya membeli sepatu , maka saya ke Bandung.

Inversi       : Jika saya tidak ke Bandung, maka saya tidak membeli sepatu.

Kontraposisi : Jika saya tidak membeli sepatu, maka saya tidak ke Bandung.

E. KALIMAT BERKUANTOR

a. kuantor universal (ᵾ)

ialah kalimat yang mengandung kata “ semua’, “setiap’,”seluruh”.

b. Kuantor existensial (϶)

ialah kalimat yang mengandung kata “ ada”,”beberapa”.

F. PENARIKAN KESIMPULAN

a. Modus Ponen	b. Modus Tollens	c. Silogisme
Premis 1 : p => q Premis 2 : p Konklusi : q	Premis 1 : p => q Premis 2 : ~ q Konklusi : ~ p	Premis 1 : p =>q Premis 2 : q => r Konlusi : p => r

G. KESETARAAN PERNYATAAN MAJEMUK

p	q	ingkaran		implikasi	konvers	invers	kontraposisi
		p	q	p  => q	q => p	-p => -q	-q => -p
B	B	S	S	B	B	B	B
B	S	S	B	S	B	B	S
S	B	B	S	B	S	S	B
S	S	B	B	B	B	B	B

Kesetaraandua pernyataan ditunjukan oleh nilai kebenaran yang sama

Dari table diatas diperoleh bentuk kesetaraan :

a.       P => q ≡ -q =>  -p

b.      q => p ≡ -p => -q

c.       p=> q ≡ -p v q

H. INGKARAN ATAU NEGASI DARI PERNYATAAN MAJEMUK

a. - (p Λ q) ≡ -p v –q

b. – (pv q) ≡ -p Λ –q

c. - (p => q) ≡ p Λ -q